Клюев родился 12 августа 1964 года в Донецке. С 1994 по 2002 год работал заместителем председателя Донецкого областного совета, первым заместителем Донецкого городского головы, заместителем председателя Донецкой облгосадминистрации.

В 2002 году при поддержке блока «За единую Украину!» был избран в парламент. С декабря 2003 года по декабрь 2004 года занимал должность вице-премьер-министра по вопросам ТЭК.

На президентских выборах играл одну из ключевых ролей в избирательной кампании Виктора Януковича. Во время парламентских выборов 2006 года избран в Верховную Раду по списку Партии регионов. В апреле 2008 года Андрей Клюев избран заместителем председателя Партии регионов. 11 марта 2010 года Верховная Рада назначила Андрея Клюева первым вице-премьер-министром, 14 февраля 2012 года — секретарем Совета национальной безопасности и обороны.

На парламентских выборах 2012 года Андрей Клюев возглавил избирательный штаб Партии регионов.